NURBS , Non-Uniform Rational B-Splines, are mathematical representations of 3-D geometry that can accurately describe any shape from a simple 2-D line, circle, arc, or curve to the most complex 3-D organic free-form surface or solid. NURBS, Non-Uniform Rational B-Splines, adalah representasi matematis dari geometri 3-D yang dapat menjelaskan secara akurat dari setiap bentuk yang sederhana 2-D line, circle, arc, atau melengkung ke yang paling kompleks 3-D organik bebas-bentuk permukaan atau solid. Because of their flexibility and accuracy, NURBS models can be used in any process from illustration and animation to manufacturing. Karena fleksibilitas dan akurasi, NURBS model dapat digunakan dalam setiap proses dari ilustrasi dan animasi untuk manufaktur.
NURBS geometry has five important qualities that make it an ideal choice for computer-aided modeling. NURBS geometri memiliki lima kualitas penting yang menjadi pilihan ideal untuk komputer-dibantu modeling.
- There are several industry standard ways to exchange NURBS geometry. Ada beberapa cara standar industri untuk pertukaran NURBS geometri. This means that customers can and should expect to be able to move their valuable geometric models between various modeling, rendering, animation, and engineering analysis programs. Ini berarti bahwa para pelanggan dapat dan harus berharap untuk dapat memindahkan mereka berharga geometris antara berbagai model modeling, rendering, animasi, dan teknik analisis program. They can store geometric information in a way that will be usable 20 years from now. Mereka dapat menyimpan informasi geometris dengan cara yang akan digunakan 20 tahun dari sekarang.
- NURBS have a precise and well-known definition. NURBS yang tepat dan dikenal definisi. The mathematics and computer science of NURBS geometry is taught in most major universities. This means that specialty software vendors, engineering teams, industrial design firms, and animation houses that need to create custom software applications, can find trained programmers who are able to work with NURBS geometry. Yang matematika dan ilmu komputer dari NURBS geometri yang diajar paling besar di perguruan tinggi. Artinya vendor perangkat lunak yang khusus, tim engineering, industri perusahaan desain, animasi dan rumah yang harus membuat kustom aplikasi perangkat lunak, dapat menemukan para pemrogram yang mampu untuk bekerja dengan NURBS geometri.
- NURBS can accurately represent both standard geometric objects like lines, circles, ellipses, spheres, and tori, and free-form geometry like car bodies and human bodies. NURBS akurat dapat mewakili kedua standar geometris objek seperti baris, lingkaran, ellipses, spheres, dan tori, dan bebas-bentuk geometri seperti mobil badan dan tubuh manusia.
- The amount of information required for a NURBS representation of a piece of geometry is much smaller than the amount of information required by common faceted approximations. Jumlah informasi yang diperlukan untuk NURBS perwakilan dari bagian dari geometri yang lebih kecil dibandingkan dengan jumlah informasi yang diperlukan oleh umum faceted approximations.
- The NURBS evaluation rule, discussed below, can be implemented on a computer in a way that is both efficient and accurate. NURBS evaluasi yang memerintah, dibahas di bawah ini, dapat diterapkan pada komputer dengan cara yang baik adalah efisien dan akurat.
What is NURBS Geometry? Apakah NURBS Geometry?
NURBS curves and surfaces behave in similar ways and share terminology. Since curves are easiest to describe, we will cover them in detail. NURBS Curves permukaan dan berkelakuan dalam cara yang sama dan berbagi terminologi. Sejak Curves termudah adalah untuk menjelaskan, kami akan meliputi mereka secara rinci. A NURBS curve is defined by four things: degree, control points, knots, and an evaluation rule. J NURBS kurfa didefinisikan oleh empat hal: gelar, titik kontrol, knot, dan evaluasi aturan.
Degree Derajat
The degree is a positive whole number. Derajat adalah positif seluruh nomor.
This number is usually 1, 2, 3 or 5, but can be any positive whole number. NURBS lines and polylines are usually degree 1, NURBS circles are degree 2, and most free-form curves are degree 3 or 5. Nomor ini biasanya 1, 2, 3 atau 5, tetapi tidak boleh positif seluruh nomor. NURBS baris polylines dan biasanya derajat 1, NURBS lingkaran adalah 2 derajat, dan yang paling murah adalah bentuk Curves derajat 3 atau 5. Sometimes the terms linear, quadratic, cubic, and quintic are used. Kadang-kadang istilah linear, kuadrat, kubik, dan quintic digunakan. Linear means degree 1, quadratic means degree 2, cubic means degree 3, and quintic means degree 5. Linear berarti derajat 1, derajat 2 berarti kuadrat, kubik berarti tingkat 3, dan quintic berarti gelar 5.
You may see references to the order of a NURBS curve. Anda dapat melihat referensi ke urutan NURBS yang melengkung. The order of a NURBS curve is positive whole number equal to (degree+1). Pesanan dari NURBS curve positif adalah sama dengan jumlah keseluruhan (derajat 1). Consequently, the degree is equal to order-1. Akibatnya, gelar yang sama dengan urutan-1.
It is possible to increase the degree of a NURBS curve and not change its shape. Adalah mungkin untuk meningkatkan derajat dari NURBS melengkung dan tidak mengubah bentuk. Generally, it is not possible to reduce a NURBS curve’s degree without changing its shape. Umumnya, tidak mungkin untuk mengurangi NURBS yang melengkung dari gelar-nya tanpa mengubah bentuk.
Control Points Poin kontrol
The control points are a list of at least degree+1 points. Kontrol poin adalah daftar minimal 1 poin gelar.
One of easiest ways to change the shape of a NURBS curve is to move its control points. Salah satu cara termudah untuk mengubah bentuk NURBS curve-nya adalah untuk memindahkan titik kontrol.
The control points have an associated number called a weight . Kontrol poin memiliki nomor terkait disebut berat. With a few exceptions, weights are positive numbers. Dengan beberapa pengecualian, bobot adalah angka positif. When a curve’s control points all have the same weight (usually 1), the curve is called non-rational, otherwise the curve is called rational. Bila kurfa kontrol semua poin yang sama memiliki berat (biasanya 1), curve disebut tidak rasional, jika melengkung yang disebut rasional. The R in NURBS stands for rational and indicates that a NURBS curve has the possibility of being rational. R dalam NURBS rasional dan berdiri untuk menunjukkan bahwa NURBS kurfa memiliki kemungkinan yang rasional. In practice, most NURBS curves are non-rational. Dalam prakteknya, kebanyakan NURBS Curves adalah non-rasional. A few NURBS curves, circles and ellipses being notable examples, are always rational. Beberapa NURBS Curves, dan kalangan ellipses contoh yang jelas, selalu rasional.
Knots Knot
The knots are a list of degree+N-1 numbers, where N is the number of control points. The knot adalah daftar gelar + N-1 angka, dimana N merupakan jumlah titik kontrol. Sometimes this list of numbers is called the knot vector. Kadang-kadang ini daftar nomor disebut sebagai simpul vector. In this term, the word vector does not mean 3‑D direction. Dalam istilah ini, kata vector tidak berarti 3-D arah.
This list of knot numbers must satisfy several technical conditions. Ini daftar nomor simpul harus memenuhi beberapa persyaratan teknis. The standard way to ensure that the technical conditions are satisfied is to require the numbers to stay the same or get larger as you go down the list and to limit the number of duplicate values to no more than the degree. Standar cara untuk memastikan bahwa kondisi teknis puas adalah untuk nomor-nomor yang memerlukan tinggal yang sama atau lebih besar karena Anda bisa turun daftar dan membatasi jumlah nilai ganda untuk tidak lebih dari derajat. For example, for a degree 3 NURBS curve with 11 control points, the list of numbers 0,0,0,1,2,2,2,3,7,7,9,9,9 is a satisfactory list of knots. Misalnya, untuk mendapatkan gelar 3 NURBS kurfa kontrol dengan 11 poin, daftar nomor yang memuaskan 0,0,0,1,2,2,2,3,7,7,9,9,9 daftar knot. The list 0,0,0,1,2,2,2,2,7,7,9,9,9 is unacceptable because there are four 2s and four is larger than the degree. Daftar 0,0,0,1,2,2,2,2,7,7,9,9,9 yang tidak dapat diterima karena terdapat empat 2S dan empat adalah lebih besar daripada derajat.
The number of times a knot value is duplicated is called the knot’s multiplicity. Frekuensi menyimpul nilainya digandakan disebut sebagai simpul dari bermacam-macam ragam. In the preceding example of a satisfactory list of knots, the knot value 0 has multiplicity three, the knot value 1 has multiplicity one, the knot value 2 has multiplicity three, the knot value 3 has multiplicity one, the knot value 7 has multiplicity two, and the knot value 9 has multiplicity three. Dalam contoh sebelumnya yang memuaskan daftar knot, simpul yang mempunyai nilai 0 keserbaragaman tiga, simpul yang memiliki nilai 1 keserbaragaman satu, simpul memiliki nilai 2 keserbaragaman tiga, simpul yang memiliki nilai 3 keserbaragaman satu, simpul nilai 7 memiliki dua keserbaragaman , dan simpul memiliki nilai 9 keserbaragaman tiga. A knot value is said to be a full-multiplicity knot if it is duplicated degree many times. J simpul nilai dikatakan penuh keserbaragaman simpul jika sudah berkali-kali gelar digandakan. In the example, the knot values 0, 2, and 9 have full multiplicity. Pada contoh, simpul nilai 0, 2, dan 9 ada keserbaragaman penuh. A knot value that appears only once is called a simple knot. J simpul nilai yang muncul hanya sekali disebut simpul sederhana. In the example, the knot values 1 and 3 are simple knots. Pada contoh, simpul 1 dan 3 nilai-nilai yang sederhana knot.
If a list of knots starts with a full multiplicity knot, is followed by simple knots, terminates with a full multiplicity knot, and the values are equally spaced, then the knots are called uniform. Jika daftar knot dimulai dengan penuh keserbaragaman simpul, diikuti oleh simple knot, terminates dengan penuh keserbaragaman knot, dan nilai-nilai yang sama spasi, maka knot dipanggil seragam. For example, if a degree 3 NURBS curve with 7 control points has knots 0,0,0,1,2,3,4,4,4, then the curve has uniform knots. Misalnya, jika gelar 3 NURBS melengkung dengan 7 titik kontrol telah knot 0,0,0,1,2,3,4,4,4, maka telah melengkung seragam knot. The knots 0,0,0,1,2,5,6,6,6 are not uniform. 0,0,0,1,2,5,6,6,6 knot yang tidak seragam. Knots that are not uniform are called non‑uniform. Knots yang tidak seragam disebut non-seragam. The N and U in NURBS stand for non‑uniform and indicate that the knots in a NURBS curve are permitted to be non-uniform. The N dan U dalam NURBS berdiri untuk non-seragam dan menunjukkan bahwa dalam knots NURBS kurfa diijinkan menjadi tidak seragam.
Duplicate knot values in the middle of the knot list make a NURBS curve less smooth. Gandakan nilai simpul di tengah-tengah simpul membuat daftar NURBS kurfa kurang halus. At the extreme, a full multiplicity knot in the middle of the knot list means there is a place on the NURBS curve that can be bent into a sharp kink. Pada ekstrim, penuh keserbaragaman simpul di tengah-tengah simpul daftar berarti ada tempat di NURBS curve yang dapat menjadi bengkok tajam berbelit. For this reason, some designers like to add and remove knots and then adjust control points to make curves have smoother or kinkier shapes. Untuk alasan ini, beberapa desainer untuk menambah dan menghapus knot dan kemudian menyesuaikan kontrol poin untuk membuat Curves ada halus kinkier atau bentuk. Since the number of knots is equal to (N+degree‑1), where N is the number of control points, adding knots also adds control points and removing knots removes control points. Karena jumlah knots sama dengan (N + derajat-1), dimana N merupakan jumlah titik kontrol, menambahkan knot juga menambahkan dan menghapus titik kontrol knot menghapus titik kontrol. Knots can be added without changing the shape of a NURBS curve. Knots dapat ditambahkan tanpa mengubah bentuk NURBS curve. In general, removing knots will change the shape of a curve. Secara umum, menghapus knot akan berubah bentuk melengkung.
Knots and Control Points Knots dan kontrol Poin
A common misconception is that each knot is paired with a control point. This is true only for degree 1 NURBS (polylines). Kesalahpahaman umum adalah bahwa setiap simpul adalah dipasangkan dengan titik kontrol. Hal ini berlaku hanya untuk tingkat 1 NURBS (polylines). For higher degree NURBS, there are groups of 2 x degree knots that correspond to groups of degree+1 control points. Untuk tingkat yang lebih tinggi NURBS, ada kelompok 2 x knot gelar yang sesuai dengan kelompok kontrol gelar 1 poin. For example, suppose we have a degree 3 NURBS with 7 control points and knots 0,0,0,1,2,5,8,8,8. Misalnya, kita mempunyai gelar 3 NURBS dengan 7 poin dan kontrol knot 0,0,0,1,2,5,8,8,8. The first four control points are grouped with the first six knots. Pertama empat poin kontrol dikelompokkan dengan pertama enam knot. The second through fifth control points are grouped with the knots 0,0,1,2,5,8. Kedua melalui kontrol kelima poin dikelompokkan dengan knot 0,0,1,2,5,8. The third through sixth control points are grouped with the knots 0,1,2,5,8,8. Ketiga melalui kontrol keenam poin dikelompokkan dengan knot 0,1,2,5,8,8. The last four control points are grouped with the last six knots. Terakhir empat poin kontrol dikelompokkan dengan terakhir enam knot.
Some modelers that use older algorithms for NURBS evaluation require two extra knot values for a total of degree+N+1 knots. Modelers beberapa lama yang menggunakan algoritma untuk NURBS evaluasi memerlukan tambahan dua simpul nilai total gelar + N 1 knot. When Rhino is exporting and importing NURBS geometry, it automatically adds and removes these two superfluous knots as the situation requires. Ketika Rhino adalah ekspor dan impor NURBS geometri, secara otomatis menambah dan menghapus kedua knot tak berguna sebagai situasi membutuhkan.
Evaluation Rule Evaluasi Rule
A curve evaluation rule is a mathematical formula that takes a number and assigns a point. J curve evaluasi aturan adalah rumus matematika yang mengambil nomor dan memberikan titik.
The NURBS evaluation rule is a formula that involves the degree, control points, and knots. NURBS evaluasi aturan yang merupakan rumus yang melibatkan derajat, titik kontrol, dan knot. In the formula there are some things called B-spline basis functions. Dalam rumus ada beberapa hal yang disebut B-spline fungsi dasar. The B and S in NURBS stand for “basis spline.” The number the evaluation rule starts with is called a parameter. B dan S untuk berdiri di NURBS "dasar spline." Jumlahnya evaluasi dimulai dengan aturan disebut parameter. You can think of the evaluation rule as a black box that eats a parameter and produces a point location. Anda dapat berpikir dari evaluasi aturan sebagai kotak hitam yang makan parameter dan memproduksi satu titik lokasi. The degree, knots, and control points determine how the black box works. Derajat, knot, dan kontrol poin menentukan bagaimana kotak hitam bekerja.
.jpg)
Amelia-)+(1)+(1).jpg)
.jpg)
.jpg)
.jpg)
